ガラケーの頃は特に意識しなくてもSMS(ショートメール)のバックアップが可能だったのですが、スマホになってから容易ではなくなりました。
playストアで SMS backup をインストールして使ってみました。
例の、吹き出し形式のHTMLファイルを出力してくれます。PCに転送しておけば何時までも保存可能ですし、加工も容易です。ちなみに吹き出しはスタイルシート化されているため、これはこれで応用の余地がありそうです。また、それとは別にJSON形式のテキストも出力してくれるようなのでjqコマンドとmysqlを利用してデータベース化することも可能かもしれません。
ただし絵文字は環境依存してしまうようです。これだけは残念ですね。